1973年 東京大学 数学（理系） 前期

1973素数ですよ！！！！！！

じゃ、いきまーす。（素数ネタは数学科としての責務だと感じています）

これは難しいですよね。Nを(a/2,0,√3 a/2)としても一般性失いません。おきましょう。また、Pの動く円を含む平面をxy平面にしちゃいましょう。これも一般性を失いません。

こう考えるといくらか楽になりませんか？

Nの接平面とxy平面の交線をL、直線Lと点Pの描く円との交点をA,Bとしましょう。

NからPが見えるのはLによって分けられる円周のうち、Oと反対側の弧AB上に点Pがあるときです。A,Bの座標を、図と、三平方から出しましょう。（もちろん、平面で見てください）Aだけ求めればいいです。Bは対称性で何とかなりますからね。∠AOBを出しましょう。その値を速さπ/12で割れば8秒って出てきます。

NPのmaxはA,Bにいるときで、minはP(4a,0,0)にいるときですよね。

1番見て飛ばそうと思って2番を見て、涙目になる…受験生の視点からすると焦る組み合わせだと思います。

x_1,x_2,...,x_nのうち1,2の個数をそれぞれa,b,とすると、

f1=a+2b,f2=a+4bですね。これから,a,bをf1とf2を用いて表せます。

fkは帰納的にa+2^k・bです。a,bを代入して終了です。

気づけばすぐですね。

1次式なので非常に簡単です。

(ⅰ)1つ1つの場合分け丁寧にやりましょう。

(ⅱ）ⅰで求めた答えを横軸a,縦軸V(a)として図示してみましょう。minは容易に求まります。

Sの中心を原点に、それぞれの辺を軸に平行になるように座標を導入します。

対称性で第1象限で議論しましょう。(x-1)(y-1)≧1/2が出てきますね。

よって、対称性より、Pの存在範囲は簡単に出ますね。

面積は第1象限に着目してその面積を4倍すればいいです。

(2)の左辺と右辺の交点を求めて、グラフを考えます。特に増減調べなくても不等式の証明を使えば、大まかな２つの曲線の位置関係がわかりますね。

f(t)を表したら、あとは微分しましょう。積分関数の微分ですね。x/(1+x^2)=g(x)みたいに置くと計算が楽に。

とても簡単です。最初の条件でy=ax^2+xと書けます。aをu,vで表して傾きを出しましょう。

6(5分)⇒2(5分)⇒3(10分)⇒5(10分)⇒4(15分)⇒1(30分)

1に時間かけすぎちゃいました汗

簡単な問題は簡単だけど、1とかで焦ると解けなくなるんですよね。怖い。