1976年 東京大学 数学（理系） 前期

重くなってきました。頑張りましょう。僕が採点者だったらの点数配分なんで信憑性ないです！

Vを求めるまでは大丈夫でしょう。(3点)

r^2+l=c⇔ l=－r^2+c…★　(2点)

Vの中に含まれているlに代入しましょう。(2点)

微分して増減を考えましょう。(5点)ここで、★を考えましょう。lは負でない実数っていう条件をちゃんと使いましょう。0<r≤√cです！(2点)

極大値がその区間に入っているか否かで場合分けしましょう。(6点)

このままじゃ、論証が難しいです。

t=0での点Mの速度ベクトルを(1,0)とし、(ⅱ)に従ってMが動くとしましょう。

つまり、Pだと、(1,√3)の向きπ/3の方向に進んでいくのを、x軸に沿わせたらどうなるの？って考えています。

次にn1=(1,0),n2=(0,1)とおきましょう。

1秒間の全体移動距離を2,n1,n2,-n1,-n2方向の移動距離をa,b,c,dとします。

a+b+c+d=2です。…♪(3点)

c≧0,d≧0です。ただし、c≠0の時にはd>0となり得ません。(1点)

Mの最終到着点Nをベクトル表示すると、(a-c,b-d) です。(2点)

x=a-c,y=b-dとします。

x+yとx-yを♪を駆使しながら、範囲を見つけましょう。(3×2点)

これを図示します。(3点)

その図形をπ/3回転させれば終了です。(5点)

P(5+rcosθ,5+rsinθ)とし、Q(q1,q2)とでもします。PQの中点(9,0)です。

Qの座標をθで表します。(2点)

R(r1,r2)とおきます。回転を施す1次変換を思い出しましょう。Rの座標もθで表します。(2点)

QRの長さの２乗をrとθで表します(4点)

sinθとcosθの項は合成して範囲を見つけます。(合成2点+範囲2点)

根号の処理は最小値のほうは絶対値になります。(min3点、max2点)

f(r)=0⇔r=2√53ですね。(3点)

P(p,q)から接点までの距離を出します。(1点)

α(P)^2+β(P)^2+γ(P)^2をpとqの式で表します。(2点)

その値が99になるので(p-3)^2+q^2=27となりますね。(3点)

Pの領域の候補として、円(x-3)^2+y^2=27上にあることはわかりました。(2点)

とりあえずこの円はKとかとでもおきましょう。

KとA,B,Cの位置関係を調べに行きます。

B,Cは交差せず、Dの内部にいます。（2点+2点)

Aは交差します。つまり、その部分はAに接線引けませんよね。(2点)

よって、図示すると、左側のほうが円周の1/6が抉れた円になります。(3点)

つまり、円周の5/6の長さが求める答えです。(3点)

(ⅰ)f(x)を微分します。f'(x)=0になるxを求めます。0<x<1より、そのようなxは1つです。(2点)

増減表が得られます。その値αとし、f(α)の値を求めましょう。y=x^(-2)上を動きますよね。(2点)

もちろん範囲がありそうなにおいがするのでそれを探しに行きます。

αをtで微分すると単調減少しているので、αの範囲が決まります。(1点)

その下で、y座標も考えましょう。図示してどのように動くか記述して終了。(3点)

(ⅱ)αとtの大小関係を考えて場合分けしましょう。(3点+3点)

場合分けしたら2つの関数を図示しましょう。(4点)必ずつながるはずです。

どのように動くか記述しましょう。(2点)

非常に面倒ですね。とりあえず、P(cosθ,sinθ,0)とおきます。Pを通ってz軸に平行な直線と平面x-√3y+z=1の交点を、Q(cosθ,sinθ,z)とします。Qは平面上より

z=-cosθ+√3sinθ+1となります。(3点)

QがD内の点の時は、z≧0となりますね。(3点)

-π/3≤θ≤πでしょうか。(2点)

Dの面積はS=∫[-π/3→π](-cosθ+√3sinθ+1)dθ=4π/3+2√3(立式5点、答え7点)

dS/dtを求めます。そして、(1/x+1)(dx/dt)=1が出てきます。よって

log|x+1|=t+積分定数(3点)　よって、x=e^(t+積分定数)となりますね。(3点)

t=0を代入すると、ｘ=0ですので、C=0で、x=e^t-1ですね。(4点)

Sに代入しましょう。(3点)(完答7点)

(ⅰ)2つの行列を持ってきましょう。Cayley-Hamilton th.で、A^2を次数下げします。(4点)

積を計算して、属すること示して終了。(3点)

(ⅱ)Gから1つもってきて、detを計算します。(2点)

この値が0とならなければいいですよね。(2点+元の行列の値が0とならない条件も書いて1点)

a=0と仮定すると矛盾するのでa≠0を導きます(2点)

判別式<0で、条件が出てきます(2点)図示して終了(3点)

(ⅰ)4個の相異なる実根をもつので(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)と表せますね。(1点)

場合分けします。

k=0のとき、f(x)=0は4個の実根をもちますね。(1点)

k≠0のとき、g(x)=f(x)+kf'(x)とでもおきます。

αを代入しても、β、γ、δを代入しても0じゃないです。

g(x)=0の両辺を(x-α)(x-β)(x-γ)(x-δ)で割ります。

1+k(1/(x-α)+1/(x-β)+1/(x-γ)+1/(x-δ))=0となります。

kでくくった中身のグラフを考えると、3つ実根を持ちます。-∞に飛ばすと0に行きます。

これをk倍に拡大(縮小)し、y軸方向へ1平行移動します。これで、1つ実根が増えます。(4点)

以上より、いずれの場合も4個。(3点)

(ⅱ)

極値3つあります。p,q,r(p<q<r)とでも置きます。

f''(x)=0を満たす2解はp<x<q,q<x<rにExistしますね。

f(x)=0,f''(x)=0が相異なる共有点をもつので、x=β、γです。

f(x)=のKKKよりα＋β+γ+δ=-a(3次以上の解と係数の関係使いこなせると便利。)

f''(x)=0のKKKより、β+γ=-a/2

２式よりα+δ=β+γが得られます。(ここまでで5点)

f(x)をうまく２つ平方完成しましょう。(3点)

よってx=(α+δ)/2に関して対称が示せます。(カッコ内はβ+γでもOK)(完答で3点)

1(15分)→2(20分)→3新(10分)→3旧(20分)→4(20分)→6新(10分)→5旧(5分)→5新(10分)

→6旧(35分)

2時間25分です！適当に点数予想しちゃってるけど怒られないかな…