1986年 東京大学 数学（理系） 前期

ごちゃごちゃ動くので、とりあえずCをfixしましょう。次はAでもBでもいいですが、

Cを固定したところとAの場所で場合分けして、Aをfixして、Bがどの位置で面積が最大になるか考えましょう。

円に変換したほうがいいでしょうか。

円に変換しなかったとき議論を進めていって最終的に面積を求める積分の時に置換積分をしますが、その置換は円に変換する作業と相当していると感じました。

y軸方向に2倍拡大して議論をしましょう。こっちは、幾何的に解けます。面積が求まったら、ちゃんとy軸方向に1/2倍縮小することを忘れないようにしましょう。

何度も言いますが、円に変換しなくてもできます。計算量はほんのちょっと増えますが、それでも多くないです。簡単です。

(1)外積は当時の課程にあったのでしょうか。とりあえず、外積です。外積を求めるのがわからなかったら、ABCのそれぞれのベクトルと垂直をなすものを探しましょう。

(2)戸惑うとしたら、ここでしょうか。

 

まぁ、ざっくり書くとこんな感じですが、空間図形の定石通り、断面を考えます。すると、平面Sの法線ベクトルとlのなす角は一定であることがわかります。

長さ1という条件、角、n0を用いると、x-y=±1/3という式が出てきます。

場合分けしましょう。すると最大値(1+√17)/6、最小値0が出てきます。

最小値0は感覚的にもわかりますよね。

(1)aを固定してもいいですし、uかvを固定してもいいです。どちらにしても、同じ答えが求まりますね。

(2)僕は、(1)の誘導を全く使いませんでした笑　本来は使った方がいいのかもしれませんね。線形計画法とか一文字固定とかいろいろ(1)の(u,v)平面を用いる考え方はありますが…計算量は僕の考え方が一番軽いと思います。

解の公式から議論をして、a=0.9,b=3.3,c=4.5の時が最大値を与え、a=1.1,b=2.7,c=5.4の時に最小値を与えることを証明しました。

笑

これはクローズアップ問題ですね。重箱の隅をつついた問題ですね笑

これがもし本番だったら時間オーバーでした。僕は1時間以上使わせてもらいました。

 (1)この断面を考えていくと、とりあえず、Lは求まりますね。次は水面線の中点を通り、底面に平行な平面で切ります。そうすると、aとbが求まると思います。少々考えにくいと思います。

(2) (1)とπabh/3を用いるとmの式が出てきます。mについて頑張って解きましょう。答えは(3-2^(5/3))/5でしょうか。

1(15分)→2(20分)→3(25分)→4(15分)→6(25分)→5(over)

非常に疲れました。