1977年 東京大学 数学（理系） 前期

おはようございます！(追記：1問目の途中でなぜか公開してましたすいませんｗ)

k≧0、k≦0で場合分けしましょう。絶対値の中身のグラフを先に書いて、x軸に関して折りたたんで、全部y≧0にもっていきましょう。

k≦0(2+3点)

k≧0(3+場合分け全部で5点)

M(k)のグラフが得られる(3点)ので、最小値を出しましょう。(4点)

 

ab,cosθ,sinθを、a1,a2,b1,b2や、それぞれで表します。(2点)

それぞれ1つずつから残り二つを示せば終了ですね(3×6点)

Qの加減乗除はQとなることを利用しましょう。

読むのもだるいかもしれないくらい面倒な問題です。一応頑張って書きます。

(ⅰ)

A⋂C\(A⋂C)⋂Bを図示しましょう。境界部分もちゃんと記述しましょう。(1点)

とりあえず、点Pを中止とした円の中で、領域A,B,Cに含まれるものの半径のMAXを、

それぞれr_A(P),r_B(P),r_C(P)とします。この中での最大のものがr(P)になりますよね。(2点)

今条件として、r_B(P)は考えなくていいですよ。P(a,b)として、bをfixします。

b<0、0≤a≤1-b/√3となりますね。(1点)

r_A(P),r_C(P)を、a,bで表します。(1点)

r(P)が最小となるのは、r_A(P)=r_C(P)となるときです。aをbで表せます。(1点)

minr(P)を出します。(1点)

maxr(P)は領域を考えたら存在しませんね。つまり上に有界でないです。

よって、答えはr(P)>-3+2√3です。(3点)

(ⅱ)

(ⅰ)の議論通り、Pがどこにいるかで場合分けしましょう。

Aのみ、Bのみ、Cのみ、A⋂C\(A⋂C)⋂B、A⋂C⋂B、B⋂C\(A⋂C)⋂B、

A⋂B\A⋂C⋂Bの7個です。(7点)

以上からr(P)の範囲を出しましょう。(3点)

π/2ずつ転がしましょう。2π動いたら、繰り返しますね。(4×2点)

V(a)を出します。(3点)

微分するのかと一瞬思うが、最小値なので、平方完成。(5点)

aの値と最小値を出して終了(4点)

(前半)成分比較しましょう。(8点)

(後半)t=tan(θ/2)とおくと、回転行列になることに気付けば終了です。(5点)

定石なのかな？でも行列はもう現課程にないからいっか…

θの範囲は決まっているので領域からその点だけ覗いてください(3+4点)

A1A3の線分を引きましょう。そうすることで、5つの式は証明できるので、必要条件は終了です(10点)

十分条件はθi<πを示せば、5角形は示せるし、後ろの5つの不等式が成り立つとき、円に内接するθiが存在することは明らかです。これで終了でいいと思います、(10点)

線形代数Ⅰで習ったので非常に簡単に感じられました。

(ⅰ)計算です。平面の方程式をax+by+cz+d=0とおくと、a,b,c,dに関する４つの条件式が得られます。連立しましょう。答えが得られます。(10点)

(ⅱ)parameterをt,sとして、l,mをそれぞれ表します。nを表したら、3式を連立して終了です。(10点)

f(x)をとりあえず、倍角の公式を利用してcosxの2次式にしましょう。(1点)

(ⅰ)cosx=tとおいて、議論していきましょう。微分して増減を考えます。

-1との大小を考えて場合分けして終了。(9点)

(ⅱ)今度はおいてはいけません。ある関数の変曲点の個数は何かで置換した関数と必ずしも一致するとは限らないからです。

２回微分します。（3点）

0<a≦1とa>1で考えましょう。(4点)　凹凸もちゃんと書いて終了です(3点)

2(15分)→4(10分)→5新(10分)→6新(10分)→6旧(10分)→1(20分)→5旧(25分)→3(over)

いや、第３問難しかったです…