2015-02-07

1975年東京大学数学（理系）前期

受験数学

両端がある線分２つを選び場合分けしました。それぞれのPQの長さを考えてあげると、

どの位置にいるのかわかり

ます。

まずx=1とでも代入しましょう。2^k-1=2^m

k≧2の時は不適、k=1のときm=0、k=0のとき不適、よって、k,ｍが確定します。

後は係数比較しましょう。∀xに対して成り立たないといけないので、最初の行為は必要条件だと思います。逆にこの時～みたいな感じで最後に記述しましょう。

直線と放物線が接するから,-ax^2+bx=-x+4が重解を持ちますね。するとaをbで表せます。代入して重解をbで表します。重解は(0,4)の間にいるので、bの範囲が決まります。

面積を求めて、bの範囲の下で微分して増減を考えると出てきます。

明らかに両辺が正なので、2乗しましょう。sinの2乗と1乗があって、中身も違うので、まずは2乗を1乗に（倍角公式をうまく使います。）そこから、cosとsinの関係を利用して、sin１次の式の関係が出てきて、漸化式が作れます。これを解いて、飛ばしましょう。

(ⅰ)v1を求めます。後は、a^3/8^n倍ってことに気づけば大丈夫です。

はじめからa/2^nとかで計算すると容量オーバーになります。やめましょう。

(ⅱ）(ⅰ)が出ていればできます。等比数列の和の公式は覚えておきましょう。

(ⅰ)①n回目でx個→次でも変わらない

②n回目でx+1個→次でx個

③n回目でx-1個→次でx個

互いに排反なので題意が示せます。

(ⅱ)(ⅰ)を利用するほかありません。少し面倒かもしれません。

(ⅲ)(ⅱ)で計算間違えていなければ3に飛ぶでしょう。

2(5分)⇒3(10分)⇒4(10分)⇒6(20分)⇒5(20分)⇒1(30分)

前年度に比べたら易化している感じはしますが、徐々に難しくなっていきますね。

2015-02-07

1974年東京大学数学（理系）前期

受験数学

十進法です。普通の数です。mod10(10で割った余り)で分類することを思いつきます。

(1) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10それぞれ2乗した時の数を見れば終わりです。

(2) n^5-nの1の位が0つまりn^5-nは10の倍数であることを証明します。帰納法です。

連続するn個の整数はn!の倍数であることは覚えておきましょう。

(3)n^100=(n^20)^5であるから、(2)より、n^100の1の位はn^20の1の位

動揺にn^20の1の位はn^4の1の位。(1)の値を2乗すれば終了。

$http://server-test.net/math/tokyo/q_jpg/1974_2.jpg$

両端をA,Bとし、(a,a^2),(b,b^2)(a<b)とでも置いて、中点の座標も出しましょう。

a+b,abの値が中点の座標に出てくるので、判別式≧0の条件があることを忘れないようにしましょう。さらっと書いているけど結構重要です。

計算ぐちゃぐちゃするけどがんばりましょう。今回は相加相乗平均が見えるので使っちゃいましょう。難しいです。

文字が統一されていないので解く側としてはわかりませんね。

条件よりB(0,1,0),A(1,2,0),A'(1,0,0)となり、AB=√2です。

△AA'Cについて考えるとACが求まります。Cの座標を適当に置いて（xz平面にあることを考慮しながら）式を2つ考えると答えが求まります。4乗根出てきます。

3)、1)と2)、4)の順に考えました。f'(0),g'(0)は２次方程式の2解になります。KKKを使って終了です。

cycloidの問題です。一度解いてみればこの手の問題は解決できると思います。

(1)(2)はすぐにできますね。

(3)弧長の公式を思い出しましょう。

(1)Aが優勝する確率を考える。３連勝するか、3試合までA 2勝1敗→次にAが勝つ

または、4試合までA2勝2敗→次にAが勝つのいずれかです。

Pをpの式で表せたら、P+Q=1、p-q=1をつかって、(P-Q)-(p-q)の増減を議論していきましょう。

(2)微分して増減を考えましょう。答えはぐちゃぐちゃしてます。

(3)長いですね。Nは3,4,5です。4は面倒に見えてくると思うので余事象から出していきましょう。

期待値を出したらその値を微分して増減を考えましょう。

1(10分)⇒3(20分)⇒4(10分)⇒5(10分)⇒2(30分)⇒6(35分)

このsetは非常に疲れると思います。2と6は体力勝負ですね。

少し雑談します。一応二十歳超えているのですが、やっておけばよかったって後悔するものが2つあります。

1.ヴァイオリン

2.本を読む習慣

ピアノを習わせてもらっていたので1は何も文句言えません。なんでやりたいかというと、四月は君の嘘の影響です笑

2.は本当に心の底から思っています。だから、4月から活字に少しずつ触れていっていますが…本当に悔やまれる。特に目上の人や、年上の人と話すとき自分の教養の無さに呆れます。といって自分の周りの大学生見ても活字読んでいる人は少ないですけど苦笑

先週、傑作と言われているイニシエーション・ラブを読みました。感動したけど、自分が一度されたことがあるので、心のショックが大きいです。一週間たった今も正直落ち込んでいます。

だから、適当な理由をつけて先週の授業を一緒に受けている子に渡しました←

きっと読むよって後でLINE来たけど笑

2015-02-07

1973年東京大学数学（理系）前期

受験数学

1973素数ですよ！！！！！！

じゃ、いきまーす。（素数ネタは数学科としての責務だと感じています）

これは難しいですよね。Nを(a/2,0,√3 a/2)としても一般性失いません。おきましょう。また、Pの動く円を含む平面をxy平面にしちゃいましょう。これも一般性を失いません。

こう考えるといくらか楽になりませんか？

Nの接平面とxy平面の交線をL、直線Lと点Pの描く円との交点をA,Bとしましょう。

NからPが見えるのはLによって分けられる円周のうち、Oと反対側の弧AB上に点Pがあるときです。A,Bの座標を、図と、三平方から出しましょう。（もちろん、平面で見てください）Aだけ求めればいいです。Bは対称性で何とかなりますからね。∠AOBを出しましょう。その値を速さπ/12で割れば8秒って出てきます。

NPのmaxはA,Bにいるときで、minはP(4a,0,0)にいるときですよね。

1番見て飛ばそうと思って2番を見て、涙目になる…受験生の視点からすると焦る組み合わせだと思います。

x_1,x_2,...,x_nのうち1,2の個数をそれぞれa,b,とすると、

f1=a+2b,f2=a+4bですね。これから,a,bをf1とf2を用いて表せます。

fkは帰納的にa+2^k・bです。a,bを代入して終了です。

気づけばすぐですね。

1次式なので非常に簡単です。

(ⅰ)1つ1つの場合分け丁寧にやりましょう。

(ⅱ）ⅰで求めた答えを横軸a,縦軸V(a)として図示してみましょう。minは容易に求まります。

Sの中心を原点に、それぞれの辺を軸に平行になるように座標を導入します。

対称性で第1象限で議論しましょう。(x-1)(y-1)≧1/2が出てきますね。

よって、対称性より、Pの存在範囲は簡単に出ますね。

面積は第1象限に着目してその面積を4倍すればいいです。

(2)の左辺と右辺の交点を求めて、グラフを考えます。特に増減調べなくても不等式の証明を使えば、大まかな２つの曲線の位置関係がわかりますね。

f(t)を表したら、あとは微分しましょう。積分関数の微分ですね。x/(1+x^2)=g(x)みたいに置くと計算が楽に。

とても簡単です。最初の条件でy=ax^2+xと書けます。aをu,vで表して傾きを出しましょう。

6(5分)⇒2(5分)⇒3(10分)⇒5(10分)⇒4(15分)⇒1(30分)

1に時間かけすぎちゃいました汗

簡単な問題は簡単だけど、1とかで焦ると解けなくなるんですよね。怖い。

2015-02-07

1972年東京大学数学（理系）前期

受験数学

今日はまだ書きますよ。明日はあさってのテスト勉強（暗記ゲー）が始まるので…

対称性より、xz平面をみます。△OPBに着目しましょう。∠APBをθとでも置いて、出てきたものをsinでもcosでもtanでもいいから条件を出しましょう。xy平面をみてみると対称性をもった図が現れますね。積分せずとも幾何的に解きましょう。

難しいと思います。まず、BとB'はkに関して対称なのでベクトルbとベクトルb'の和はkと平行になり、ベクトルc（太文字はベクトルって知らなかったらこれ混乱するでしょ…）と垂直です。CとC'についても同様な議論を行います。２つの式が出てきます。ベクトルcの大きさが√mって出てきます。∠BAC＝θとおいて、ベクトルbとベクトルcの内積＝それぞれの大きさをかけ、cosθをかけた値になるので、ベクトルbの大きさ1をヒントにして、m=1,2,3が得られます。３つの場合を全部出して終了です。お疲れ様です。