1971年 東京大学 数学（理系） 前期

普通にx^2+y^2を求めてから微分してもいいですが、yをsinで表してみると(t-π/6）になってめちゃくちゃ楽になります。

(1)an+1について解きます。ak+1-ak(k∊N)が0以上になることはわかりますが、akが1か否かで話が変わってきます。もちろん1になったら全部イコールになっちゃうので、1だと仮定して矛盾を導きましょう。すぐに矛盾します。帰納的にan≠1が言えます。

よって最初にかいたak+1-ak≧0より、帰納的にan-an-1>0が言えるので、証明終了。

(2)(前半）(1)と同じように考えましょう。x<2なので、すぐ見えてくるでしょう。

(後半)εが出てきてるのでε-N論法みたいなのを考えちゃいます。笑

ak≤1-εなので、ε≤1-akで、ak+1-ak≧ε^2/2がk∊Nで言えますね。

これを縦に並べて辺々足しましょう。an-1－1≧nε^2/2が言えます。

で、an<1は前半で言っているので、題意が示せますね。

久しぶりに長々と書いてしまいました。論証は書きたくなっちゃいます。

f(x)をax^n+bx^n-1+...的な感じで置くのはやめましょう。

最小値を実際に出さなくていいので、a,bの条件が出るようにしてあげます。

(f(x)-ax-b)^2を展開します。そして、上の２つの条件を代入します。

∫[0→1]f(x)^2dx+ a^2/3 +b^2 -6a +ab -4b　って出てきます。

まず、aについて平方完成します。残った項はbの式として見て平方完成します。

先にbの値が出てきて、代入して整理するとaの値も出てきます。

このfn(x)の正体はeのMaclaurin展開です。前半は微分しましょう。それだけ。

後半は誘導通り数学的帰納法を用いましょう。注意するところは、仮定でn=2k-1でただ1つの実根をもち、n=2kで実根をもたないので、最初はn=1,2で成立を確認、

n=2k+1,2k+2のとき成り立つことを示しましょう。記述量は非常に多いので、頑張りましょう。

集合と論理の円周の期末テストに、偏角として(cos2πk/n,sin2πk/n)として、k/nの部分がQなので、Nと濃度が等しいから題意が成立する的な（ざっくりしてますねごめんなさい）問題があったので、最初の一文を読んで思わず笑いがこみあげました。

まぁ、計算していけばわかるのですが、snの部分に1/nあるし、λpでぶっ飛ばさせてるので区分求積法です。

|ベクトルPQk|^2を計算します。kの値を0～n-1代入したものを足しましょう。

グーチョキパーじゃないあたり、この問題の古さを感じますね。面白い笑

場合分けです。k-1回目まであいこで、k回目で1人勝ち。またはk-1回目のどこか1回で1人負け、k回目で勝負が決まる。これらは排反です。足しましょう。

1(5分)⇒3(5分)⇒5(5分)⇒6(5分)⇒4(20分)⇒2(25分)

演習量を積んでいない子にとってはheavyだと思いますが、難しくはないです。頑張りましょう。